Claudeが11日間でフェルマーの最終定理をLeanで完全に形式化
Anthropicが開発したAI モデルのClaudeが、数学史上最難の定理の一つを11日間で初めてコンピュータ検証可能な形で証明しました。Lean プログラミング言語で1300万行のコードを生成し、29,500の中間定理を証明しています。
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Claudeは11日間にわたってほぼ自律的に動作し、Lean言語でフェルマーの最終定理の初めてのエンドツーエンドコンピュータ検証可能な証明を完成させました。この過程でClaudeは1300万行のLeanコードを生成し、合計で30,300個のコンピュータ検証可能な証明を作成し、そのうち29,500個が最終的な証明に使用されました。
定理の歴史と証明への道のり
フェルマーの最終定理は1637年、ピエール・ド・フェルマーがディオファントスの『算術』の欄外に記した主張に遡ります。フェルマーは「この定理の真に素晴らしい証明を発見したが、この余白は狭すぎてそれを記すことができない」と述べていました。その後、数学者たちは350年間にわたり証明を求めて探索しました。
1908年には正しい証明に対して10万マルクの賞金が発表され、翌年には621件の不正な証明が提出されました。1993年、アンドリュー・ワイルズが最初の正しい証明と信じられるものを3日間の講演会で発表しました。しかし2ヶ月後、査読者が証明に重大な欠陥を発見し、ワイルズは1年間かけてこれを修正しました。ワイルズは初め単独で、その後リチャード・テイラーと協力して問題に取り組み、以前に破棄していたアプローチが解決策となることに気付きました。1995年5月、ワイルズは最初の正しい証明を公表しました。この証明は129ページに及びました。
Anthropicと数学コミュニティの協力体制
2024年、ロンドン・インペリアル・カレッジのケビン・バズアードが、Lean を使用した多年にわたるコミュニティ取り組みを開始しました。Anthropicの研究者であるティアニ・ペンは、コロンビア大学のグループで数学の形式化用ツールを開発しており、「この非凡な自動形式化の成果は11日間のみで達成され、数学の公理以外の仮定を必要としません。この過程で、代数、調和解析、幾何学、数論が自動形式化されており、AI自動形式化の成果物は現在、その上に構築されるのに十分な堅牢性を備えていることがわかります。証明は多層的です」とバズアードは述べました。
証明は、Leanの3つの標準公理のみを使用し、数学コミュニティのMathlibという主要な証明ライブラリの上に構築されています。しかし、Claudeの証明は1300万行のコードに達し、Mathlibの5倍以上のサイズとなっています。数学コミュニティが形式化プロジェクトの初期段階を説明するために使用していた青写真は86ページでしたが、Claudeはこれをはるかに超える規模で実装しました。
Prove2Meプラットフォームの成功
当初、複数のClaudeエージェントがプロジェクト状態の追跡に失敗し、取り組みは行き詰まりました。しかし、Anthropicが開発した協調的な形式化プラットフォーム「Prove2Me」を使用に切り替えた際に成功が実現されました。Prove2Meは、ティアニ・ペンとコロンビア大学の協力者たちによって設計されたオープンな協調プラットフォームで、定理ステートメントの有向非環グラフ(DAG)と自然言語記述を保持しています。
この取り組みにおいて、複数のClaudeエージェントが概念を定義し、中間定理を証明し、それらの定理を使用してより困難なステートメントを証明するために協力しました。推定で約60億の出力トークンが消費されました。使用されたモデルはClaude Fable 5.1とおおよそ同程度でした。失敗した取り組みは、最終的な証明における非定型行の約7%を占めていました。
Prove2Meを通じた協力の有効性を示す別の実験として、3つの個人向けClaude Maxプランが使用され、ヴィノグラードフの3つの素数定理の形式化が3日間で完了しました。
筆者の見立て
- 形式化の取り組みは、将来すべての数学が容易に検証される段階への重要な一歩であると論じている
- AI支援の形式化により、新しい結果の評価の負担を軽減する可能性を示唆している
- 適切な足場があれば、消費者向けAIサブスクリプションを使用した主要な結果の協調的な形式化が達成可能であると予想している
- 人間の読者向けに意図された論文と同時に、形式化された証明を作成することが一般的になると予想している
- 形式化はAI生成の寄与に数学コミュニティが対応するための唯一の実行可能な手段である可能性を示唆している
- 形式化はAIの役割が明確に有益である領域であると論じている
この記事は元記事の事実のみに基づいて自動生成されました。
出典
Anthropic「Formalizing Fermat's Last Theorem」https://www.anthropic.com/research/formalizing-fermats-last-theorem