自然数の部分集合の格子は豊かな構造を持つ

自然数の全部分集合からなる格子（べき集合格子 P(N)）には、自然数、整数、有理数、実数など様々な既知の順序が埋め込まれ、非可算な反鎖と同次性を備えている。

自然数の全部分集合からなる格子 P(N) は、分配格子かつブール代数である。空集合が最小元、自然数全体の集合 N が最大元となり、有限集合は格子の下部に、余有限集合は上部に位置する。

埋め込まれた順序構造

P(N) には自然数の順序を表現する初期線分の鎖 {∅, {0}, {0,1}, {0,1,2}, ...} が含まれる。整数の順序 Z と同型な離散的な鎖も、奇数と偶数を用いて構成可能である。さらに、有理数直線 Q の写し、および実直線 R の写しも P(N) に埋め込まれている。

汎用性と同次性

P(N) は全可算順序に対して汎用的である。任意の可算順序は自然数の部分集合の格子に埋め込まれることが可能だ。また、非可算な鎖と非可算な反鎖を備えている。

格子は同次的な性質を持ち、任意の余無限集合より上にある部分集合の格子は P(N) 全体と同型である。同時に、任意の無限集合より下にある部分集合の格子も P(N) と同型であり、任意の2つの無限余無限集合は P(N) の自己同型によって接続される。

筆者の見立て

• 格子が本質的に離散的な性質を持つと考えると、密な順序の埋め込みは不可能に見えると論じている
• 密な順序 Q を埋め込めないことが格子の本質的な離散性から示唆されると解釈している
• 任意の余無限集合より上を見た場合、常に同じ構造に見えると述べている
• 特定の集合に関する構造定理を求めるべきではなく、P(N) の構造理論は全体としての構造に関するものであるべきだと論じている
• 自然数の全部分集合の格子を魅力的だと考えている

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出典

Joel David Hamkins, "The lattice of sets of natural numbers is rich", https://jdh.hamkins.org/the-lattice-of-sets-of-natural-numbers-is-rich/