GPT-5.6 Sol Proが凸最適化の30年ぶりの複雑性ギャップを証明、Leanで正式検証

148分間の単一セッションでGPT-5.6 Sol Proは、1996年から存在する凸最適化の複雑性ギャップを閉じる証明を生成した。結果はLeanで正式に検証されている。

OpenAI の Cycle Double Cover 予想の証明発表に続き、GPT-5.6 Sol Pro が凸最適化分野で大きな進展を実現した。UC Berkeley の IEOR 部門の教授で応用数学博士号を持つ著者は、148分間の単一セッションで、1996年から存在していた決定論的ゼロ次凸最適化の複雑性ギャップを閉じる証明を生成させることに成功した。

証明の内容と検証

GPT-5.6 Sol Pro が生成した証明は、Protasov のアルゴリズムが示す O(d²) 上界が最適であることを示している。すなわち、下界も O(d²) であることを証明し、このモデルではグラデイエントが役に立たないことを立証した。著者は 148分後に返された提案証明を自身で検証し、Lean での正式検証を実施したところ、合格している。精度要件は d⁻⁴ だったが、GPT-5.6 Sol Pro が返した証明は d⁻³ の精度を達成した。

プロンプト手法と開発過程

著者は OpenAI の CDC プロジェクトで用いられたプロンプティング手法を凸最適化の問題に適用した。十ページ程度の長さを持つプロンプトを作成し、この問題について約1年間散発的に取り組んでいた。GPT-5.4 および GPT-5.5 による長時間セッションでは解答が得られず、GPT-5.6 Sol Pro で初めて成功した。Lean コード、完全なプロンプト、証明マップ、ビルド手順は GitHub で公開されている。

複雑性理論への示唆

この分野ではそれ以前、下界がほぼ存在していなかった。最も強力な既知下界は Ω(d) であり、より強い一次オラクルモデルから継承されたものに過ぎなかった。Protasov の 1996年のアルゴリズムは、d² 回の関数評価で十分であることを示していたが、今回の結果はこの d² 上界が実際に最適であることを初めて証明した。著者は、構築法と主要な不変量が凸最適化の複雑性に関する他の結果と密接に関連していると述べている。

なお、この結果はまだピアレビューを受けていない。

筆者の見立て

• 既存の技法で達成可能な結果であれば、現代の AI 手法がそうした問題を解くことができるようになると予想している
• 数学・理論計算機科学の研究者が時代遅れになることはないと解釈している
• 低い果実、あるいは中程度の果実に取り組むことはもはや意味をなさなくなると予想している
• 実際に新規なアプローチが必要な問題に対してのみ、研究者が必要とされるようになると解釈している

この記事は元記事の事実のみに基づいて自動生成されました。

出典

reddit「After OpenAI's CDC proof announcement, GPT-5.6 used a similar prompt to close a 30-year gap in convex optimization, verified in Lean」https://old.reddit.com/r/math/comments/1uxj3cy/after_openais_cdc_proof_announcement_gpt56_used_a/